İhtimallerin Heyecanına Üzülüyoruz: Bayesçi Çıkarım Problemi

🎧 Bu konuyu sohbet eşliğinde öğren · Zihnimizin olasılık hesaplarındaki büyük yanılgısı

►«1530»0:00 / 0:001×⤴

Yapay zeka ile seslendirildi.

Matematik ile aranız nasıldır? Gerçi cevabınız bu yazıya bakışınızı etkilemeyecek çünkü bugün epey eğlenceli bir beyin jimnastiği ile karşınızdayız. Nasıl mı?

Diyelim ki sabah işe gitmek için evden çıkmadan önce hava durumunu kontrol ediyorsunuz. Telefonunuzda yağmur ihtimalinin %30 olduğunu görüyorsunuz, ancak dışarı baktığınızda gökyüzü kapkara bulutlarla dolu. Şimdi bir karar vermeniz gerekiyor: Şemsiyeyi yanınıza almalı mısınız? Bu noktada sezgilerinize mi güvenmelisiniz, yoksa daha sistematik bir yöntemle mi karar vermelisiniz?

İşte burada Bayesçi çıkarım devreye giriyor. Bayesçi düşünme, yeni bilgiler geldikçe inançlarımızı güncelleyerek daha iyi tahminlerde bulunmamızı sağlayan bir matematiksel hesaplamadır ancak bu hesaplama her zaman kağıt üstünde yapılmaz. Hatta çoğu zaman zihnimizde yapılır. Peki, beynimiz bu tür hesaplamaları ne kadar iyi yapabiliyor? Ve neden çoğu zaman sezgilerimiz bizi yanıltıyor? Gelin, Bayesçi çıkarımın mantığını birlikte keşfedelim.

Bayesçi Çıkarım Nedir?

Aslında, bu çıkarım, bizim istemsizce yaptığımız bilişsel bir işlemdir. Bizim kafamızda halihâzırda oturmuş bilgiler vardır. Örneğin, havada bulut yoksa büyük ihtimalle önümüzdeki 3-4 saat yağmur yağmayacaktır veya çok su içersek kısa süre içerisinde acele ederek tuvalete koşmamız mümkündür. Bunlar bizim deneyimlerimize dayanan ancak gerçekliği de kişisel olarak defalarca kanıtlanmış bilgilerdir öyle değil mi? Peki bu durumun yanına bize yeni bir olasılık sunulduğunda ne olur? İşte Bayesçi çıkarım tam olarak bunu ele alır. Temeli Bayes teoremine dayanan Bayesçi çıkarım, önceden bildiğimiz olasılıkları veya bilgileri yeni veriler ışığında güncelleyerek son olasılığı hesaplama ve çıkarım yapma yöntemidir.

Bu yöntemin en önemli özelliği, olasılıkları sabit görmek yerine dinamik olarak değiştirmesidir. Yani, ne kadar çok yeni veri alırsak, sonucumuz o kadar doğru hale gelir. Kafanız sakın karışmasın! Birazdan bu yöntemi örneklerle göreceğiz!

Örneklerimize geçmeden önce bu yöntemi matematiksel olarak kısaca özetleyelim:

Diyelim ki dünyada %1 oranında görülen nadir bir hastalık var. Bu hastalığın tespiti için de bir test var. Testimiz de harika bir test olmayacaktır ki

• Hasta olanların %90’ını doğru tespit ediyor (doğru pozitif oranı).
• Hasta olmayanların %5’ine yanlışlıkla “hasta” diyor (yanlış pozitif oranı).

Bu durumda diyelim bir hastanın testi pozitif çıktı. O kişinin gerçekten hasta olma ihtimali nedir? Birazdan göz korkutucu bir matematiksel çözüm göreceksiniz ancak paniklemeyin! Bu kısım sadece ilgilisine. Açıklama yolda!

1. Ön Bilgi (Prior Probability, P(A)P(A)P(A))

Toplumda bu hastalığa sahip olma olasılığı: %1 yani 0.01.

2. Yeni Veri (Likelihood, P(B∣A)P(B | A)P(B∣A))

Eğer kişi hasta ise, testin pozitif çıkma olasılığı: %90 yani 0.9.

3. Yanlış Pozitif Olasılığı (False Positive Rate, P(B∣¬A)P(B | \neg A)P(B∣¬A))

Hasta olmayanların %5’inde test yanlışlıkla pozitif çıkıyor.

4. Pozitif Test Görülme Olasılığı (Total Probability, P(B)P(B)P(B))

Testin pozitif çıkmasının toplam olasılığı:

5. Bayes Teoremi ile Güncelleme

Bu durumda şaşırtıcıdır ama birisinin hasta olma ihtimali sadece %15.4 olur. Bunun nedeni, hata oranı düşük olsa bile hastalık oranının daha bile düşük olmasıdır. Beynimiz bu bağlantıyı pek başarıyla kuramamıştır. Muhtemelen siz de çok daha yüksek bir sonuç beklediniz öyle değil mi? İşte bunun nedeni, beynimizin bu çıkarımı tam olarak yapamamasıdır.

Mavi ve Yeşil Taksiler

Gelin, şimdi uzun işlemlerden uzak, tamamen düşünce ile açıklayacağımız yeni bir örneğe yelken açalım. Bu örneği de daha önce yazılarımızda yer verdiğimiz (Bir Okuma Rehberi: Hızlı ve Yavaş Düşünme) Daniel Kahneman’ın Hızlı ve Yavaş Düşünme kitabından alıyoruz ve karşınıza heyecanlı bir şekilde sunuyoruz.

Diyelim ki bir şehirde taksilerin %90’ı mavi, %10’u yeşil. Bir görgü tanığı bir taksinin yeşil olduğunu söylüyor, ancak tanığın doğruluk oranı %80. Çoğu kişi, taksinin büyük ihtimalle yeşil olduğunu düşünse de Bayes teoremine göre mavi olması daha olasıdır. Neden peki?

Bunun nedeni, eğer taksi gerçekten yeşilse, tanık %80 olasılıkla “yeşil” diyecektir.  Eğer taksi maviyse, tanık %20 hata yaparak “yeşil” diyebilir.

Bu nedenle tanığımız “yeşil” dediğinde, taksinin gerçekten yeşil olma olasılığı sadece %30 olur. Yani, taksinin hâlâ %70 ihtimalle mavi olması daha muhtemel!

İnsanlar genellikle “Tanık %80 doğru söylüyor, demek ki büyük ihtimalle yeşildir” diye düşünerek temel oranları ihmal ederler. İşte tam da burada Bayes teoremi, ilk baştaki genel oranların hâlâ yeni verilen veri karşısında etkisinin kritik olduğunu gösterir.

Linda Problemi

Bir diğer örnek biraz daha bilişsel bir örnek olacak. Bu örneğimizi de yine Kahneman’a borçluyuz. Merak etmeyin, bu örnekte yüzde işareti bile görmeyeceksiniz! Burada bizim bilişsel yanılgılarımız, gözden kaçırdığımız ihtimaller ve durumları çok güzel şekilde göreceğiz. Bunun öncesinde lütfen zihninizi temizleyin ve derin bir nefes alın. Zihniniz özgür kalsın! 

Varsayalım, önünüze bir kişinin profili geldi. Profile baktığınızda Linda adında bir kadın görüyorsunuz. Linda, 31 yaşında, bekar, açık sözlü ve çok zeki bir kadındır. Felsefe okumuştur. Öğrenciyken ayrımcılık ve sosyal adalet konularıyla ilgilenmiş, nükleer karşıtı gösterilere katılmıştır. Bunlar sizin elinizdeki donelerinizdir. Bu bilgiler kesinlikle doğrudur. Şimdi size iki adet yargı sunacağız. Sizce hangisi doğru?

1. Linda bir banka memurudur.
2. Linda bir banka memuru ve feministtir.

Muhtemelen istemsizce B seçeneği size daha olası geldi. Merak etmeyin, yaptıkları deneyde de sonuç bu şekildeydi. Aslında bu matematiksel olarak son derece yanlıştır. Bunun nedeni aslında çok basittir.

İnsanlar, “Linda’nın feminist olması, sadece banka memuru olmasına kıyasla daha olası görünüyor” şeklinde sezgisel bir çıkarım yaparlar Bunun nedeni, Linda’nın felsefe okuması, kadın olması veya zeki olması gibi ön bilgilerden kaynaklanır ancak olasılık teorisine göre, iki olayın birlikte gerçekleşme olasılığı, tek bir olayın olasılığından asla büyük olamaz. Düşünün şimdi. Birisi hakkında zekidir desek, sonra da hem zeki hem yakışıklıdır desek ne düşünürsünüz? Zaten ikinci ifade doğruysa, birinci ifade de doğru olacaktır öyle değil mi? İkinci ifade “yakışıklılık” özelliği nedeniyle yanlış olduğunda kişi hala zeki olabilir değil mi? Birinci ifade yanlışsa ikinci ifade de çökecektir zaten.

Tüm bunlardan dolayı Linda’nın banka memuru olma ihtimali hem banka memuru hem feminist olma ihtimalinden yüksektir.

Bayesçi Çıkarım Ne Önerir?

Bayesçi çıkarım, mevcut inançlarımızı yeni gelen veriler doğrultusunda güncelleyerek daha iyi tahminlerde bulunmamızı önerir. Yani bilgiye kapalı kalmak yerine, yeni kanıtları hesaba katarak düşüncelerimizi sürekli revize etmeliyiz ancak bu yeni bilginin de doğruluk durumuna dikkat etmeliyiz. Bir olayın gerçekleşme olasılığını değerlendirirken, o olayın geçmişteki genel sıklığını göz önünde bulundurmalıyız.

Örneğin, bir hastanede yapılan test sonucunda bir hastalığınız olduğu söylendiğinde, öncelikle bu hastalığın toplumda ne kadar yaygın olduğunu düşünmelisiniz. Nadir bir hastalık için test sonucu pozitif çıksa bile, testin hata payı yüksekse yanlış sonuç olasılığı da yüksektir.

Bunun bir benzeri şudur: Herhangi bir doğal felaket veya tehlikeli bir durum duyduğumuz anda, dünyanın çok tehlikeli olduğunu düşünürüz ve her an başımıza kötü bir şey geleceğine inanma eğilimimiz olur. Halbuki, gördüğümüz hayret verici o olay, iyi veya kötü olsa da toplumun %0.50’sinin başına geliyordur. Yaşanan olay her ne kadar mükemmel veya dehşet verici olsa da matematiksel açıdan gerçekleşme ihtimali düşüktür. Bir süre kötü haber almadığımızda ise dünyaya karşı daha güvenli yaklaşırız. Halbuki gerçekleşme olasılığı değişmemiştir. 

Biz bu çıkarımı sadece büyük olaylarda da yapmıyoruz elbette. Bir arkadaşımızın bize doğruyu mu söylediğini, yoksa biraz abarttığını mı anlamaya çalışırken, trafikte hangi yolun daha hızlı olacağını tahmin ederken ya da bir sınav sonucunu değerlendirirken, aslında hep bilgilerimizi yeni verilerle güncelliyoruz. Ancak sezgisel yanılgılarımız, bizi zaman zaman yanlış yöne sürükleyebiliyor. Siz ne düşünüyorsunuz? Sizce de bu hatalara sık sık düşüyor muyuz? 

Kaynakça ve İleri Okuma